Definisi
2.1 :
Bilangan bulat a
membagi (habis) bilangan bulat b ditulis a | b, jika dan hanya jika ada
bilangan bulat k sedemikian hungga b = ka. Jika a tidak membagi (habis) b, maka
ditulis a | b.
Contoh:
5 | 30, Karena ada
bilangan bulat, yaitu 6, sedemikian hingga 5.6 = 30
7 | -21, sebab ada
bilangan bulat, yaitu -3, sedemikian hingga 7.(-3) = -21
-6 | 24, sebab ada
bilangan bulat, yaitu -4, sedemikian hingga (-6).(-4) = 24
8 | 27, sebab tidak ada
bilangan bulat k, sedemikian hingga 8k = 27
Bilangan bulat k pada
definisi 2.1 tersebut adalah tunggal, sebab apabila ada bilangan bulat m selain
k sedemikian hingga
b = ma dan b
= ka,
maka ma = ka,
sehingga m
= k.
Jika a = 0 dan b ≠ 0,
maka tidak ada bilangan k sehingga b = ka.
Tetapi jika a = 0 dan b
= 0, maka k tidak tunggal agar berlaku b = ka.
Istilah: Untuk seterusnya istilah “membagi habis” dan “terbagi habis” berturut-turut disingkat menjadi “membagi” dan “terbagi”. “a membagi b” dan “b terbagi a” keduanya ditulis “a
| b”. istilah-istilah lain yang
mempunyai arti sama dengan a | b adalah “a ialah faktor dari b”, “a ialah
pembagi dari b” atau “b ialah kelipatan dari a”.
Apabila a | b dan k
adalah bilangan-bilangan bulat dengan a ≠ 0 dan b = ka, maka k disebut hasil
bagi (quotient) dari b oleh a. disebut pula bahwa k adalah faktor dari b yang
menjadi komplemen (sekawan) dari a, atau dengan singkat dikatakan bahwa a dan k
adalah pembagi-pembagi sekawan (komplementer) dari b.
Apabila a | b, menurut
definisi 2.1, maka ada bilangan bulat k sehingga b = ka, dan jika diketahui
pula b | c, maka ada bilangan bulat m sehingga c = mb. Karena b = ka, maka c =
mka, sehingga menurut definisi 2.1 diperoleh a | c. hal ini berarti relasi
keterbagian pada himpunan bilangan bulat mempunyai sifat transitif. Sifat
dinyatakan sebagia teorema berikut:
Teorema
2.1
Jika a | b dan b | c maka a | c.
Apabila a | b, yaitu a
membagi habis b, maka a membagi habis setiap kelipatan b, yaitu a | mb, untuk
setiap bilangan bulat m.
Hal ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini.
Teorema
2.2.
Jika a | b maka a | mb, untuk setiap bilangan bulat m.
Apabila a | b dan a |
c, menurut definisi 2.1, maka diperoleh b = ka dan c = ma untuk
bilangan-bilangan bulat k dan m.
Dari dua kesamaan ini dapat diperoleh bahwa:
(i)
b + c = (k + m) a berarti a | (b + c)
(ii)
b – c = (k – m) a berarti a | (b – c)
dan
(iii)
b c = (kma) a berarti a | bc
ketiga kesimpulan ini dinyatakan sebagai teorema
berikut ini.
Teorema
2.3.
Apabila a | b dan a | c, maka a | (b + c), a | (b – c) dan a | bc.
Teorema terakhir ini
dapat ditulis dalam sebuah pernyataan yang dinyatakan dalam teorema berikut ini
yang biasa disebut sifat linieritas.
Teorema
2.4.
(Sifat linieritas)
Apabila a | b dan a | c
maka a | (mb + nc) untuk setiap bilangan bulat m dan n.
Bukti: Karena a | b dan a | c, menurut teorema 2.2,
maka a | mb dan a | nc untuk setiap bilangan-bilangan bulat m dan n.
selanjutnya, menurut teorema 2.3, maka a | (mb + nc).
Teorema
2.5
(i)
a | a untuk setiap bilangan bulat a (sifat
reflektif).
(ii)
Jika a | b maka ma | mb untuk setiap
bilangan bulat m.
(iii)
Jika ma | mb dengan m ≠ 0, maka a | b.
(iv)
1 | a dan a | 0
(v)
Jika 0 | a maka a = 0 (nol hanya membagi
nol)
(vi)
Jika a | b dengan b ≠ 0, maka | a | ≤ |
b |
(vii)
Jika a | b dengan b | a, maka | a | = |
b |.
Faktor
Persekutuan Terbesar (FPB)
Kita telah mengetahui bahwa semua faktor bilangan
bulat positif dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, dan 30. Sedangkan semua
faktor bulat positif dari 45 adalah 1, 3, 5, 9, 15, dan 45. Maka faktor-faktor
persekutuan (pembagi-pembagi bersama) dari 30 dan 45 adalah 1, 3, 5. Dan faktor
persekutuan terbesar 30 dan 45 adalah 5.
Secara umum, pengertian
tentang faktor persekutuan dari dua bilangan bulat dituliskan sebagai definisi
berikut ini.
Definisi 2.2:
Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, maka bilangan bulat disebut faktor
persekutuan dari a dan b jika dan hanya jika d | a dan d | b.
karena 1 adalah pembagi
(faktor) dari setiap bilangan bulat, maka 1 adalah faktor persekutuan dari a
dan b. Jadi himpunan faktor persekutuan dari a dan b tidak pernah kosong.
Setiap bilangan bulat,
kecuali nol selalu membagi nol, sehingga jika a = b = 0, maka setiap bilangan
bulat merupakan faktor persekutuan dari a dan b. Dalam hal ini, himpunan semua
faktor persekutuan bulat positif dari a dan b merupakan himpunan tak hingga.
Apabila
sekurang-kurangnya satu dari a dan b tidak sama dengan nol, maka himpunan semua
faktor persekutuan bulat positif a dan b merupakan himpunan berhingga. Sehingga
mesti ada anggota dari himpunan tersebut yang terbesar dan disebut faktor
persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b. secara formal, hal tersebut dinyatakan
sebagai definisi berikut ini.
Definisi 2.3.
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat yang sekurang-kurangnya satu di antaranya
tidak sama dengan nol, maka faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b
ditulis “(a, b)” adalah suatu bilangan bulat positif d yang memenuhi
(i)
d | a dan d | a, serta
(ii)
Jika e | a dan e | b, maka e ≤ d.
Dari definisi tersebut dapat dimengerti bahwa jika
(a, b) = d, maka d ≥ 1. Dan apabila ada faktor persekutuan lain, misalnya e,
maka e ≤ d.
Contoh:
Faktor bulat positif
dari -12 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Faktor bulat positif
dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Maka faktor persekutuan
yang positif dari -12 dan 30 adalah 1, 2, 3, 6.
Jadi faktor persekutuan terbesar dari -12 dan 30
adalah 6, aau dapat ditulis secara singkat (-12, 30) = 6.
Selanjutnya dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa
(-5, 5) = 5 ; (8, 15) = 1 : (8, -36) = 4 ; (-6, -42) = 6.
Perhatikan bahwa (30,
105) = 15 dan (30:15, 105:15) = (2, 7) = 1. Apabila (a, b) = d, apakah (a : d,
b : d)= 1?
Misalkan (a : d, b : d)
= c, maka c ≥ 1 dan c | (a : d) dan c | (b : d).
c | (a : d) maka ada bilangan bulat m, sehingga a :
d = m c atau a = m c d.
c | (b : d) maka ada bilangan bulat n, sehingga b :
d = n c atau b = n c d.
Karena a = m c d dan b = n c d, maka cd adalah
faktor persekutuan dari a dan b. Karena (a, b) = d, maka cd ≤ d, yaitu c ≤ 1,
sebab d suatu bilangan bulat positif. Karena c ≥ 1 dan c ≤ 1, maka c = 1.
Uraian tersebut merupakan bukti dari teorema berikut
ini.
Teorema
2.6
Jika (a, b) = d, maka (a : d, b : d) = 1.
Apabila a dan b dua
bilangan bulat positif dengan (a, b) = 1, maka dikatakan bahwa a
dan b saling prima atau a prima relative terhadap b.
Misalkan a
dan b dua bilangan bulat dengan a > 0, maka b dibagi oleh a akan memberikan
hasil bagi dan sisa pembagian. Hal ini dinyatakan sebagai teorema berikut ini
dan terkenal dengan nama Algoritma Pembagian.
Teorema 2.7.
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dengan a > 0, maka ada dengan tunggal
pasangan bilangan-bilangan bulat q dan r yang memenuhi
b
= q a + r, dengan 0 ≤ r < a.
Bilangan-bilangan bulat
q dan r dalam teorema itu berturut-turut disebut hasil bagi dan sisa dalam
pembagian b oleh a.
Bukti:
Dibentuk himpunan S =
{b – xa: x bilangan bulat dan b – xa ≥ 0}. S bukan himpunan kosong sebab jika x
= - |b| dan karena a > 0, maka (b-xa) € S. Karena S beranggotakan
bilangan-bilangan bulat tak negatif berbentuk (b – xa), maka S pasti memiliki
anggota terkecil, misalkan r.
Sesuai dengan bentuk
anggota dari S, maka r = b – qa, untuk suatu bilangan bulat q dan r ≥ 0. Selanjutnya
akan ditunjukkan bahwa r < a.
Andaikan r ≥ a, maka r
= a + k dengan k ≥ 0. Jadi k = r – a, karena r = b – qa, maka k = b – qa – a =
b – (1 + q) a. Ini berarti bahwa k adalah suatu anggota dari S. Tetapi 0 ≤ k =
r – a < r. hal ini tidak mungkin, karena r adalah bilangan bulat tak negatif
yang terkecil dalam S. Oleh kerena itu, pengadaian tersebut harus diingkar.
Jadi r < a. Sehingga ada q dan r sedemikian sehingga b = qa + r dengan 0 ≤ r
< a.
Selanjutnya kita akan
menunjukkan ketunggalan dari q dan r. Misalkan bahwa b mempunyai dua
representasi, yaitu:
b = aq + r = aq* + r*
dengan 0 ≤ r < a dan 0 ≤ r* < a.
maka r – r* = a (q –
q).
sehingga a | r – r*.
Jika r –r* ≠ 0 maka a ≤
| r – r* |, merupakan suatu kontradiksi.
Jadi r – r* = 0 dan q*
- q = 0, sehingga r = r* dan q = q*.
Berdasrkan pembuktian
tersebut, maka teorema tersebut dapat diperluas untuk a < 0, sehingga
diperoleh akibat sebagai berikut:
Akibat:
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat dengan b ≠ 0, maka ada dengan tunggal
pasangan bilangan-bilangan bulat q dan r sedemikian hingga
b
= aq + r dengan 0 ≤ r < | a |
Untuk membuktikan
akibat ini, kita cukup memperhatikan untuk a yang negatif maka |a| > 0,
sehingga teorema menghasilkan pasangan bilangan-bilangan bulat yang tungggal q
dan r memenuhi:
b = aq + r dengan 0 ≤ r
< |a|
Perhatikan bahwa |a| = -a dan mengambil q* = q,
untuk mendapatkan
b = aq + r dengan 0 ≤ r
< |a|
sebagai ilustrasi, jika
a = 21 dan b = 75, maka q = 3 dan r = 12, yaitu:
75 = 3.21 + 12
Di sini tampak bahwa (75, 210 = (21, 12) = 3.
Apakah benar, apabila b = aq + r, maka (b,a) =
(a,r)?
Misalkan (b,a) = d dan
(a, r) = c, maka kita akan menunjukkan bahwa c = d. Karena (b,a) = d, maka d |
b dan d | a, dank arena b = aw + r, maka d|r. Dari d|a dan d|r, maka d adalah
faktor persekutuan dari a dan r.
Selanjutnya, karena (a,
r) = c maka c|a dan c|r dank arena b = aq + r, maka c|b. Dari c|a dan c|b, maka
c adalah faktor persekutuan dari a dan b. Tetapi karena (a, b) = d, maka d ≥ c.
Dari d ≤ c dan d ≥ c, maka c = d, yaitu (b,a) =
(a,r)
Uraian tersebut merupakan bukti dari teorema berikut
ini:
Teorema
2.8.
Jika b = aq + r, maka (b,a) = (a, r).
Dengan menggunakan
teorema ini. Memudahkan kita untuk menghitung faktor persekutuan terbesar dari
sebarang bilangan bulat, meskipun bilangan-bilangan bulat tersebut cukup besar.
Contoh: Carilah (5767,
4453)
Penyelesaian: Kita
gunakan algoritma pembagian (teorema 2.8)
5767 = 1. 4453 + 1314, maka
(5767, 4453) = (4453, 1314)
4453 = 3. 1314 + 511, maka (4453, 1314) = (1314, 511)
1314 = 2. 511 + 292, maka (1314, 511) = (511, 292)
511 = 1. 292 + 73, maka (511, 292) = (292, 73)
292 = 4. 73 + 0, maka
(292, 73) = (73, 0) = 73
Jadi (5767, 4453) = 73
Faktor persekutuan
terbesar dari a dan b dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari a dan b,
yaitu bentuk ax + by dengan x dan y bilangan-bilangan bulat tertentu.
Misalnya: (-12, 30) = 6 = (-12). 2 + 30 . 1
(8, 15) = 1 = 8 . 2 +
15 . (-1)
(8, -36) = 4 = 8 . 5 +
(-36) . 1
(-6, -42) = 6 = (-6)(-8)
+ (-42) . 1
Uraian ini memberikan contoh untuk teorema beerikut
ini:
Teorema 2.9
Apabila a dan b bilangan-bilangan bulat tidak nol, maka ada bilangan-bilangan
bulat x dan y sedemikian hingga
ax + by = (a, b).
Bukti:
Dibentuk himpunan S,
yaitu himpunan semua kombinasi linier dari a dan b yang bernilai positif.
S = { au + bv : u,v
bulat dan au + bv >0 }
S bukan himpunan kosong
sebab jika a > 0 dan u = 1 dengan v = 0 maka a € S dan jika a < 0, dengan
u = -1 dan v = 0, maka | a | € S.
Karena S memuat bilangan-bilangan bulat positif,
maka S memuat anggota yang terkecil, misalnya d. Karena d € S, maka ada
bilangan-bilangan bulat x dan y sehingga ax + by = d.
Selanjutnya, kita akan
menunjukkan bahwa (a, b) = d.
Perhatikan a dan d, menurut algoritma pembagian,
maka ada bilangan-bilangan bulat q dan r sedemikian hingga
a = qd + r dengan 0 ≤ r
< d
r = a – qd = a – q(ax +
by)
r = a (1 – qx) + b
(-qy)
Karena r > 0 dan r merupakan kombinasi linier
dari a dan b, maka r € S.
Hal ini bertentangan dengan fakta nahwa d adalah
anggota terkecil dari S (ingat bahwa 0 ≤ r < d).
Jadi r = 0, sehingga a = qd atau d | a.
Dengan penalaran yang sama diperoleh d | b. Sehingga
d adalah faktor prsekutuan dari a dan b.
Selanjutnya, jika c
adalah sebarang faktor persekutuan dari a dan b, yaitu c | a dan c | b, maka c
| ax + by, atau c | d, sehingga c ≤ d.
Ini berarti bahwa d = (a, b).
Bukti teorema 2.9
tersebut hanya merupakan bukti eksistensi dan tidak memberikan cara mencari
nilai-nilai x dan y. Hal ini akan dibahas kemudian.
Sesuai dengan teorema
2.9 tersebut, apabila 9a, b) = 1, maka ada bilangan-bilangan bulat x dan y
sedemikian hingga ax + by = 1.
Sebaliknya, apabila ax
+ by = 1 untuk bilangan-bilangan bulat x dan y tertentu, apakah (a, b) = 1?
Misalkan bahwa 9a, b) =
d, maka d | a dan d | b, sehingga menurut teorema 2.2 didapat d | (ax + by)
atau d | 1. Karena d ≥ 1, maka d = 1.
Teorema
2.10.
Apabila a dan b dua
bilangan bulat tidak nol,
maka a dan b saling
prima jika dan hanya jika ada bilangan-bilangan bulat x dan y yang memenuhi ax
+ by = 1.
Contoh:
Hitunglah (247, 299)
dan tentukan bilangan-bilangan bulat m dan n yang memenuhi 247m + 299n = (247,
299).
Jawab: 299 = 247 . 1 + 52
247 = 5 . 4 + 39
52 = 39 . 1 + 13
39 = 13 . 3
Jadi (247, 299) = 13
13 = 52 – 39 . 1
= 52 – (247 -52 . 4)
= 52 . 5 – 247
= (299 – 247) . 5 – 247
= 299 . 5 + 247 (-6)
Jadi m = -6 dan n = 5
Misalkan a | c dan b |
c, dapatkah kita menyimpulkan bahwa ab | c.
Diambil contoh sebagai berikut: 8 | 24 dan 6 | 24
maka tidak benar bahwa 8.6 | 24. Tetapi apabila diberi tambahan ketentuan bahwa
(a, b) = 1, maka kita dapat menyimpulkan bahwa ab | c.
Hal itu ditunujukkan sebagai berikut:
Karena (a, b) = 1,
menurut teorema 2.10 tersebut, maka ada bilangan-bilangan bulat x dan y
sedemikian hingga:
ax + by = 1
jika kedua ruas dikalikan c, maka diperoleh
persamaan:
acx + bcy = c ………. ……….
(1)
Karena a | c dan b | c
maka ada bilangan-bilangan bulat r dan t sedemikian hingga c = ar dan c = bt.
Sehingga persamaan (1) menjadi:
abtx + abry = c
ab(tx + ry) = c
Ini berarti bahwa ab |
c.
Uraian tentang akibat
dari teorema 2. 10 tersebut dinyatakan sebagi berikut:
Akibat: Jika a | c dan
b | c dengan (a, b) = 1, maka ab | c.
Apabila diketahui bahwa
a | bc, apakah kita dapat menyimpulkan bahwa a | c atau a | c ?
Diambil sebagai contoh: 6|(3.4) maka tidak benar
apabila kita mengambil kesimpulan bahwa 6 | 3 ataupun 6 | 4.
Tetapi apabila a | bc ditambah ketentuan (a, b) = 1,
maka kita dapat menyimpulkan bahwa a | c.
Hal ini ditujukkan sebagai berikut:
Karena (a, b) = 1, maka
ada bilangan-bilangan bulat x dan y sedemikian hingga:
ax + by =1
Jika kedua ruas dari persamaan ini dikalikan dengan
c maka diperoleh:
acx + bcy = c
Karena a | bc dan a | ac maka a | (acx + bcy) atau a
| c.
Uraian yang tampak sederhana ini, tetapi pernyataan
itu merupakan hal yang fundamental (mendasar) dan biasa disebut dengan “Lemma
Euclid”.
Teorema
2.11
(Lemma Euclid): Jika a | bc dan (a,
b) = 1, maka a | c.
Kelipatan
Persekutuan Kecil (KPK)
Di sekolah dasar dan lanjutan, kita telah
mempelajari kelipatan persekutuan terkecil (KPK).
Misalnya, kelipatan bulat positif dari 3 adalah 3,
6, 9, 12, 15, 18, …
Kelipatan bulat positif dari 4 adalah 4, 8, 12, 16,
20, 24, 28, …
Maka kelipatan persekutuan terkceil dari 3 dan 4
adalah 12, 24, 36, 48, …
Selanjutnya istilah
“kelipatan bulat positif” hanya dikatakan lebih singkat menjadi “kelipatan”
saja. Selanjutnya secara umum pengertian kelipatan persekutuan dari dua
bilangan bulat dinyatakan dalam definisi berikut ini.
Definisi 2.4:
Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan bulat. m adalah kelipatan persekutuan
dari a dan b jika dan hanya jika a | m dan b | m.
Nol (0) adalah suatu
kelipatan persekutuan dari a dan b. ab dan –ab masing-masing juga merupakan
suatu kelipatan persekutuan dari a dan b. Jadi himpunan semua kelipatan
persekutuan bulat positif dari a dan b tidak pernah sama dengan himpunan
kosong.
Himpunan semua
kelipatan bulat positif dari 6 adalah {6, 12, 18, 24, …}.
Himpunan semua
kelipatan bulat positif dari -9 adalah {9, 18, 27, 36, …}.
Jadi himpunan semua kelipatan persekutuan dari 6 dan
-9 adalah {18, 36, 54, 72, …}. Sehingga kelipatan persekutuan terkecil dari 6
dan -9 adalah 18.
Ingat bahwa dalam
himpunan bagian dari himpunan bilangan-bilangan bulat positif selalu mempunyai
anggota terkecil. Sehingga KPK dari setiap dua bilangan bulat selalu ada.
Secara formal, KPK dari
dua bilangan bulat didefinisikan sebagai berikut:
Definesi 2.5:
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan bulat tidak nol a dan
adalah suatu bilangan bulat positif m ditulis [a, b] = m, apabila memenuhi:
(i)
a | m dan b | m
(ii)
jika a | c dan b | c maka m ≤ c.
Dalam definisi ini dapat dimengerti bahwa kelipatan
dari setiap dua bilangan bulat yang tidak no; selalu merupakan suatu bilangan
bulat positif. Dalam (i) pada definisi itu mengatakan bahwa masing-masing dari
dua bilangan itu membagi kelipatan persekutuan terkecilnya. Sedangkan (ii)
mengatakan bahwa kelipatan persekutuan lainnya tidak lebih kecil dari KPK dari
dua bilangan itu.
Contoh:
[6, 8] = 24, maka 6 | 24 dan 8 | 24.
Kelipatan persekutuan yang lain, misalnya 48, 72,
96, … masing-masing lebih besar dari 24.
Perhatikan pada contoh
di atas, yaitu himpunan semua kelipatan persekutuan bulat positif fari 6 dan -9
adalah {18, 36, 54, 72, …} dan KPK dari
6 dan -9 adalah 18 atau ditulis [6, -9] = 18. Tampak di sini bahwa semua
kelipatan persekutuan dari 6 dan -9 selalu terbagi oleh 18. Hal ini dapat
dikatakan bahwa setiap kelipatan persekutuan dari dua bilangan bulat selalu
terbagi oleh KPK dari dua bilangan tersebut. Hal ini dinyatakan sebagai teorema
berikut ini.
Teorema
2.12
Jika c adalah suatu
kelipatan persekutuan dari dua bilangan bulat tidak nol a dan b, maka KPK dari
a dan b membagi c, yaitu [a, b] | c.
Bukti:
Misalkan [a, b] = m,
maka harus ditunjukkan bahwa m | c. Andaikan m | c, maka menurut logaritma
pembagian, ada bilangan-bilangan bulat q dan r sedemikan hingga:
c = qm + r dengan 0
< r < m
Karena c adalah
kelipatan persekutuan dari a dan b, maka a | c dan b | c.
Karena [a, b] = m maka
a | m dan b | m.
a | m maka a | qm dan a
| c, maka a | (c – qm ). Ini berarti a | r.
Demikian pula b | m
maka b | qm dank arena b | c, maka b | (c – qm). Berarti b | r.
Karena a | r dan b | r
maka r adalah kelipatan persekutuan dari a dan b.
Tetapi karena [a, b ] =
m dan 0 < r < m, maka hal tersebut tidak mungkin (kontradiksi). Jadi
pengandaian di atas tidak benar, berarti m | c atau [a, b] | c.
Perhatikan bahwa [6, 9]
= 18 dan [2.6, 2.9] = [12, 18] = 36.
Tampak bahwa [2.6, 2.9]
= 2 [6, 9].
Hal ini memberikan
ilustrasi dari teorema berikut ini.
Teorema
2.13
Jika c > 0, maka [ca, cb] = c[a, b].
Bukti:
Misalkan [a, b] = d,
maka a | d dan b | d, sehingga ac | dc dan bc | dc. Hal ini berarti dc adalah
kelipatan persekutuan dari ac dan bc. Dan merupakan teorema 2.12, maka [ac, bc]
| dc.
Karena [ac, bc] adalah
suatu kelipatan dari ac, maka [ac, bc] adalah suatu kelipatan dari c. Misalkan
[ac, bc] = mc maka mc | dc, sehingga m | d.
Karena [ac, bc] = mc, maka ac | mc dan bc | mc,
sehingga a | m dan b | m, dan menurut teorema 2.12, maka [a, b] | m, yaitu d |
m dank arena m | d, maka d = m.
Sehingg dc = mc, yaitu c[a, b] = [ac, bc].
Contoh: (1) [105, 45] = [ 15.7, 15.3]
= 15 [7, 3]
= 15. 21
= 315
(2) [18, 30] = [6.3,
6.5]
= 6 [3, 5]
= 6. 15
= 90
Mengingat teorema tersebut, maka dengan mengeluarkan
faktor persekutuannya akan mempermudah dalam mencari KPK-nya.
Jika (a, b) = 1, berapakah [a, b] = ab?
Kita tunjukkan sebagai berikut:
Jelas bahwa ad adalah suatu kelipatan persekutuan
dari a dan b, menurut teorema 2.12, maka [a, b] | ab. Di lain pihak, menurut
akibat dari teorema 2.10, karena a | [a, b] dan b | [a, b] dengan (a, b) = 1,
maka ab | [a, b] dank arena [a, b] | ab, maka disimpulkan [a, b] = ab.
Selanjutnya, apabila (a, b) = d
Tidak ada komentar:
Posting Komentar